Come si risolvono le disequazioni

Nel campo dell’algebra le equazioni e le disequazioni rivestono un ruolo importante e fondamentale. Dopo aver introdotto il concetto di equazione algebrica che è un’uguaglianza fra due funzioni verificate solo da singoli valori attribuiti alle variabili, si può passare a quello di disequazione. In questo caso si parla di una proposizione aperta che può essere vera o falsa, grazie a dei valori che vengono attribuiti alla variabile x. Se portiamo al primo membro tutti i termini della disequazione, dopo aver ridotto gli eventuali termini simili, una disequazione razionale intera risulta scritta nella sua forma normale. Si parla di grado della disequazione come del grado del polimero che è presente nel primo membro della disequazione scritta nella sua forma normale. Le disequazioni di primo grado hanno una forma normale che è ax maggiore o uguale di b dove a è il coefficiente delle x e b è il termine noto. Al fine di risolvere questo quesito algebrico e trovare quindi l’insieme S delle soluzioni dobbiamo saper applicare alcune proprietà matematiche. Aggiungendo uno stesso numero ai due membri di una disuguaglianza si ha una disuguaglianza nello stesso senso. E lo stesso accade quando si moltiplicano o si dividono i due membri di una disequazione per uno stesso numero. D’altra parte se moltiplichiamo o dividiamo per uno stesso numero negativo va cambiato il verso della disuguaglianza. Per quanto concerne le disequazioni intere di primo grado si risolvono portando, come primo passaggio, al secondo membro tutti i termini senza la x e quelli con la x al primo membro. Si riducono i termini simili e se il coefficiente dell’incognita x è negativo si moltiplicano entrambi i membri per meno 1, cambiando il senso della disequazione. Se siamo in presenza di disequazioni fratte, si moltiplicano i due membri per il minimo comune denominatore. Quindi se il coefficiente a della x è maggiore di zero possiamo dividere entrambi i membri della disequazione per a ottenendo come insieme delle soluzioni quello di tutti i numeri reali maggiori di -b (fattore noto) fratto a (coefficiente della x). Le disequazioni intere di secondo grado si possono riportare ad una forma normale che in questo caso è uguale ad a per x alla seconda più b per x più c maggiore o minore di zero. La risoluzione delle disequazioni di secondo grado è molto più complessa rispetto a quelle di primo grado. In estrema sintesi si deve fare riferimento al discriminante del trinomio. Quindi si dovrà considerare se l’equazione di secondo grado corrispondente alla disequazione ha due zeri reali e distinti o se questi sono coincidenti oppure ancora se invece non ci sono zeri reali. Se ci sono due zeri reali e distinti, il trinomio prenderà lo stesso segno del suo primo coefficiente negli intervalli esterni e segno contrario nell’intervallo interno agli zeri. Se invece il trinomio non zeri, esso avrà sempre lo stesso segno del suo primo coefficiente. Tutto ciò fa riferimento alla geometria analitica dal momento che un’equazione di secondo grado rappresenta una parabola nel piano cartesiano.

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